Preprobabilidad y Conjuntos

Sección 1 · Definiciones y Conceptos Clave

¿Qué es un Conjunto?

Un conjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos. Se denota con letras mayúsculas (A, B, U…) y sus elementos entre llaves.

Ejemplo:

A = {1, 2, 3, 4}

Conjunto Universal (U)

Contiene todos los elementos considerados en un problema. Todos los demás conjuntos son subconjuntos de U.

Operaciones con Conjuntos

Unión (A ∪ B): todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.

(A \cup B) = (A) + (B) - (A \cap B)

Intersección (A ∩ B): elementos comunes a A y B.

Diferencia (A − B): elementos de A que no están en B.

Complemento (A'): elementos de U que no están en A.

Diagrama de Venn – Dos Conjuntos

Principio de Inclusión-Exclusión – 2 Conjuntos

(A \cup B) = (A) + (B) - (A \cap B)

Diagrama de Venn – Tres Conjuntos

Principio de Inclusión-Exclusión – 3 Conjuntos

(A \cup B \cup C) = (A) + (B) + (C) - (A \cap B) - (A \cap C) - (B \cap C) + (A \cap B \cap C)

Preprobabilidad – Espacio Muestral y Eventos

El espacio muestral (S) es el conjunto de todos los resultados posibles. La probabilidad clásica de un evento E es:

P (E) = \frac{(E)}{(S)}

Sección 2 · Ejemplos Resueltos

🔵 Ejemplos con Dos Conjuntos

1 Deportes en el colegio

En un grupo de 50 estudiantes: 30 practican fútbol (F) y 22 practican voleibol (V). Si 12 practican ambos deportes, ¿cuántos estudiantes practican al menos uno de los dos?

1Identificar datos:

(F) = 30

(V) = 22

(F \cap V) = 12

2Aplicar inclusión-exclusión:

(F \cup V) = 30 + 22 - 12 = 40

3Estudiantes que no practican ninguno:

50 - 40 = 10

✔ 40 estudiantes practican al menos uno de los dos deportes. 10 no practican ninguno.

2 Redes sociales

De 80 jóvenes encuestados: 55 usan WhatsApp (W) y 40 usan Telegram (T). Si 25 usan ambas aplicaciones, ¿cuántos usan solo WhatsApp? ¿Cuántos no usan ninguna?

1Solo WhatsApp:

(W) - (W \cap T) = 55 - 25 = 30

2Solo Telegram:

40 - 25 = 15

3Total al menos una:

30 + 25 + 15 = 70

4Ninguna:

80 - 70 = 10

✔ 30 usan solo WhatsApp. 10 jóvenes no usan ninguna de las dos aplicaciones.

3 Idiomas en un curso

En un curso de 60 estudiantes: 35 estudian inglés (I) y 28 estudian francés (Fr). Si

(I \cup Fr) = 48

, ¿cuántos estudian ambos idiomas?

1Despejar

(I \cap Fr)

de la fórmula:

(I \cap Fr) = (I) + (Fr) - (I \cup Fr) = 35 + 28 - 48 = 15

3Verificación: ninguno =

60 - 48 = 12

✔ 15 estudiantes estudian ambos idiomas. 12 no estudian ninguno.

🔴 Ejemplos con Tres Conjuntos

4 Materias favoritas

En un salón de 70 estudiantes: 40 les gusta Matemáticas (M), 35 les gusta Ciencias (C) y 30 les gusta Historia (H). Además: 18 les gustan M y C, 14 les gustan M y H, 12 les gustan C y H, y 7 les gustan las tres. ¿Cuántos estudiantes gustan de al menos una materia?

1Aplicar fórmula:

(M \cup C \cup H) = 40 + 35 + 30 - 18 - 14 - 12 + 7

2Calcular:

105 - 44 + 7 = 68

3Ninguna materia:

70 - 68 = 2

✔ 68 estudiantes gustan de al menos una materia. Solo 2 no gustan de ninguna.

5 Actividades extracurriculares

De 90 alumnos: 48 practican danza (D), 42 practican teatro (T) y 36 practican pintura (P). 20 hacen D y T, 16 hacen D y P, 14 hacen T y P, y 8 hacen las tres actividades. ¿Cuántos alumnos hacen exactamente una actividad?

1Exactamente dos (sin los tres):

(20 - 8) + (16 - 8) + (14 - 8) = 12 + 8 + 6 = 26

2Total unión:

48 + 42 + 36 - 20 - 16 - 14 + 8 = 84

3Solo una actividad = Total − exactamente dos − exactamente tres =

84 - 26 - 8 = 50

✔ 50 alumnos realizan exactamente una actividad extracurricular.

6 Bebidas en una cafetería

En una encuesta a 100 personas: 55 toman café (C), 45 toman jugo (J) y 38 toman agua (A). 22 toman C y J, 18 toman C y A, 15 toman J y A, y 10 toman los tres. ¿Cuántas personas no toman ninguna de las tres bebidas?

1Aplicar fórmula de 3 conjuntos:

55 + 45 + 38 - 22 - 18 - 15 + 10

2Resultado:

138 - 55 + 10 = 93

3Ninguna:

100 - 93 = 7

✔ 93 personas toman al menos una bebida. 7 personas no toman ninguna de las tres.

Sección 3 · Argumenta lo Aprehendido

Pregunta 1 de 12

Pregunta 1 de 12 · Dos Conjuntos

En un grupo de 40 estudiantes: 22 practican fútbol (F), 18 practican baloncesto (B) y 8 practican ambos deportes.

¿Cuántos estudiantes practican solo fútbol o solo baloncesto (pero no ambos)?

A 24

B 32

C 14

D 40

Solución:
Solo fútbol:

22 - 8 = 14

Solo baloncesto:

18 - 8 = 10

Total solo uno:

14 + 10 = 24

Respuesta correcta: A) 24

Pregunta 2 de 12 · Dos Conjuntos

De 50 personas: 30 leen novelas (N), 25 leen cómics (C) y 10 leen ambos.

¿Cuántas personas leen al menos uno de los dos géneros?

A 55

B 45

C 40

D 35

Solución:

(N \cup C) = 30 + 25 - 10 = 45

Respuesta correcta: B) 45

Pregunta 3 de 12 · Dos Conjuntos

En un salón de 35 alumnos: 20 hablan inglés (I) y 15 hablan francés (F). Solo 5 hablan ambos.

¿Cuántos alumnos no hablan ninguno de los dos idiomas?

A 5

B 10

C 15

D 0

Solución:

(I \cup F) = 20 + 15 - 5 = 30

Ninguno:

35 - 30 = 5

Respuesta correcta: A) 5

Pregunta 4 de 12 · Dos Conjuntos

A = {2, 4, 6, 8, 10}

B = {4, 8, 12}

dentro de

U = {1, 2, …, 12}

¿Cuántos elementos tiene

A \cap B

A 1

B 3

C 2

D 6

Solución:
Elementos comunes a A y B: {4, 8} →

(A \cap B) = 2

Respuesta correcta: C) 2

Pregunta 5 de 12 · Dos Conjuntos

60 jóvenes encuestados: 35 usan Instagram (I) y 28 usan TikTok (T). 13 usan ambas redes.

¿Cuántos jóvenes no usan ninguna de las dos?

A 10

B 50

C 20

D 15

Solución:

(I \cup T) = 35 + 28 - 13 = 50

Ninguna:

60 - 50 = 10

Respuesta correcta: A) 10

Pregunta 6 de 12 · Dos Conjuntos

(U) = 100

(A) = 55

(B) = 40

(A \cap B) = 20

¿Cuántos elementos pertenecen al complemento de A ∪ B?

A 25

B 30

C 20

D 15

Solución:

(A \cup B) = 55 + 40 - 20 = 75

Complemento:

100 - 75 = 25

Respuesta correcta: A) 25

Pregunta 7 de 12 · Tres Conjuntos

80 estudiantes: 45 estudian Matemáticas (M), 38 Física (F) y 30 Química (Q). Intersecciones: M∩F=18, M∩Q=15, F∩Q=12, M∩F∩Q=8.

¿Cuántos estudian al menos una de las tres materias?

A 80

B 76

C 68

D 72

Solución:

45 + 38 + 30 - 18 - 15 - 12 + 8 = 76

Respuesta correcta: B) 76

Pregunta 8 de 12 · Tres Conjuntos

100 personas: 60 café (C), 50 té (T) y 40 jugo (J). C∩T=25, C∩J=20, T∩J=15, C∩T∩J=10.

¿Cuántas personas no consumen ninguna de las tres bebidas?

A 10

B 0

C 5

D 8

Solución:

60 + 50 + 40 - 25 - 20 - 15 + 10 = 100

Ninguna:

100 - 100 = 0

Respuesta correcta: B) 0

Pregunta 9 de 12 · Tres Conjuntos

200 hogares: 120 TV (T), 90 computador (C), 70 tablet (Ta). T∩C=50, T∩Ta=40, C∩Ta=30, T∩C∩Ta=20.

¿Cuántos hogares tienen exactamente solo televisión?

A 60

B 50

C 70

D 40

Solución:
Solo T =

120 - 50 - 40 + 20 = 50

Respuesta correcta: B) 50

Pregunta 10 de 12 · Tres Conjuntos

Se lanzan dos dados. El espacio muestral tiene 36 resultados posibles.

¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los dos dados sea 7?

\frac{1}{6}

\frac{1}{12}

\frac{7}{36}

\frac{1}{4}

Solución:
Pares suma 7: (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) → 6 casos

P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Respuesta correcta: A)

Pregunta 11 de 12 · Tres Conjuntos

90 deportistas: 50 natación (N), 45 ciclismo (Ci), 35 atletismo (A). N∩Ci=20, N∩A=18, Ci∩A=15, N∩Ci∩A=10.

¿Cuántos practican exactamente dos deportes (sin los tres)?

A 43

B 53

C 33

D 23

Solución:
Exactamente dos = (20−10)+(18−10)+(15−10) = 10+8+5 = 23
Respuesta correcta: D) 23

Pregunta 12 de 12 · Tres Conjuntos

150 estudiantes: 80 leen cuentos (C), 65 novelas (N) y 50 poesía (P). C∩N=30, C∩P=25, N∩P=20, C∩N∩P=15.

¿Cuántos estudiantes no leen ninguno de los tres géneros?

A 5

B 15

C 10

D 0

Solución:

80 + 65 + 50 - 30 - 25 - 20 + 15 = 135

Ninguno:

150 - 135 = 15

Respuesta correcta: B) 15

🏆 Resultado Final

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Hecho: fabamo66 · I.E. Colegio Municipal Gremios Unidos · Grado 9°